El webmail es una aplicación online (Roundcube, Horde) que permite ver los correos que están almacenados en tu alojamiento web desde un navegador (Chrome, Firefox, Opera,…).
Si tienes y usas en tu ordenador un gestor de correos (Outlook, Thunderbird, etc.) y descargas el correo porque tiene configurado el entrante como POP3 sin dejar copia en servidor, luego no verás esos correos en tu webmail, ya que te los has descargado previamente en tu ordenador.
En caso de querer mantener los correos en el servidor para poder consultarlos desde el webmail, debes configurarlo en tu gestor de correos como IMAP o bien como POP3 y dejar copia en el servidor. Ir a las propiedades de tu cuenta de correo y buscar la opción «mantener copia en el servidor» (la frase puede variar según el gestor que uses).
Tener en cuenta que si activas esa opción, el correo quedará almacenado en tu alojamiento web ocupando espacio en disco pudiendo llegar a llenarse si no mantienes una limpieza adecuada.